Dalle equazioni alle immagini


La geometria frattale è un nuovo campo della scienza che include aree di matematica, informatica e scienze naturali.
La definizione di "frattale" non è ancora stata sviluppata completamente.
Ci sono così diversi tipi che è difficile classificarli sotto una unica definizione, perciò il matematico francese Mandelbrot li ha definiti come

...una forma fatta di parti simili all'intero in qualche modo...

Alcuni termini per meglio comprenderne i principi:

Numero immaginario è la radice quadrata di un numero negativo es. i = -1.
I numeri immaginari sono generalmente scritti come z=a+bi dove z è il numero immaginario e a e b sono numeri reali (es. 2+3i dove 2 è la parte reale e 3 è la parte immaginaria).
I numeri immaginari possono essere disegnati in un sistema di assi x-y sostituendo a e b con x e y (es z=x+yi).
Funzione
 Le funzioni con i numeri reali sono indicate con f(x)=equazione dove x è il numero da calcolare:
(es f(x)=x2, dove x=3, f(3)= 32 = 9. Le funzioni che coinvolgono numeri immaginari, sono invece espresse con f(z)=equazione
Iterazione Ripetere una funzione usando il risultato della funzione precedente come input.(es. f(3)=32=9 ...f(9)=92=81... f(81)=812=6561)
Orbita Sequenza dei numeri ottenuta da una iterazione (es. 3 9 81 6561 ecc.).
Si può notare che per la funzione f(x)=x2 per "x>1" l'orbita tende all'infinito, per "x=1" l'orbita è 1, per "x<1" questa tende a zero.


Le immagini frattali sono generate da processi di iterazione.
La più semplice è la curva di"von Koch" dove un segmento viene diviso in tre parti e quella centrale viene sostituita da un triangolo.
Ripetendo questa operazione su ogni nuovo segmento (=iterando) all' infinito, la curva di von Kock diventa autosomigliante ed infinita nei dettagli, due proprietà dei frattali.
L'operazione che abbiamo eseguito viene definita trasformazione.

La trasformazione può essere definita con funzioni che sono alla base della geometria frattale, ad esempio f(z)=z2+c.

Generare immagini da funzioni di geometria frattale.


Per vedere il frattale della formula sopra riportata, si definisce un valore di "c", quindi si itera la funzione f(z) per diversi valori di z.
Si prende un certo numero di valori di z da un piano cartesiano x,y, (es z(0)=- 5 + 5i, uguale al punto "-5,+5") in modo che si generi un'immagine sufficientemente definita e si verifica il comportamento della funzione iterata.
-->Se non va all'infinito coloriamo il punto di nero
-->Se va all'infinito lo coloriamo di bianco.

Ogni figura è diversa a seconda del valore di c. Per generare l'immagine sopra riportata è stato fissato c= - 0.122 + 0.745 i.
Si può invece applicare un colore diverso a seconda di quante iterazioni occorre effettuare per far sì che la funzione in quel punto converga all'infinito (es 5 iterazioni = blu; 6 = rosso; ecc)

Il tipo di frattale nel quale viene fissato un valore iniziale di c si definisce "Julia" dal nome del matematico francese che li ha studiati in modo più approfondito.

Mandelbrot invece iniziò a studiare frattali con il valore di z fissato a 0+0i invece dei punti di un piano e usando c per rappresentare i punti sul piano.

Ottenne quindi la più famosa immagine frattale che è il Mandelbrot set.


Poichè esiste un solo vero Mandelbrot set, le differenze tra le varie immagini sono dovute all'assegnazione alla funzione di parametri cosiddetti di perturbazione, che generano risultati diversi in ogni punto del piano.

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